OBMEP 2005 — Matemática — Aritmética e Álgebra

Numa aula de Matemática, a professora inicia uma brincadeira, escrevendo no quadro-negro um número. Para continuar a brincadeira, os alunos devem escrever outro número, seguindo as regras abaixo:

(1) Se o número escrito só tiver um algarismo, ele deve ser multiplicado por 2.

(2) Se o número escrito tiver mais de um algarismo, os alunos podem escolher entre apagar o algarismo das unidades ou multiplicar esse número por 2.

Depois que os alunos escrevem um novo número a brincadeira continua com este número, sempre com as mesmas regras.

Veja a seguir dois exemplos desta brincadeira, um começando com 203 e o outro com 4197:

$203 \xrightarrow{\text{dobra}} 406 \xrightarrow{\text{apaga}} 40 \xrightarrow{\text{apaga}} 4\ldots$

$4197 \xrightarrow{\text{apaga}} 419 \xrightarrow{\text{dobra}} 838 \xrightarrow{\text{apaga}} 83\ldots$

A) Comece a brincadeira com o número 45 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1.

B) Comece agora a brincadeira com o número 345 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1.

C) Explique como chegar ao número 1 começando a brincadeira com qualquer número natural diferente de zero.